શતરંગ / ગણિતની ગમ્મત ખાતર પુછાયેલા એક કોયડાએ જયારે સાયકોલોજીના સવાલોને સમજાવ્યા

- વિજ્ઞાન વિહાર

ધારો કે તમે એક ગેમ-શોમાં ભાગ લઇ રહ્યા છો. ગેમ કૈંક આવી છે. તમારી સામે ત્રણ બંધ દરવાજા છે. ત્રણમાંથી કોઈ એક દરવાજા પાછળ ખુબ જ કિંમતી કાર છે. જ્યારે અન્ય બે દરવાજા પાછળ બકરી છે. શોનો હોસ્ટ તમને કોઈ એક દરવાજો પસંદ કરવાનું કહે છે. જો તમે પસંદ કરેલા દરવાજા પાછળ કાર નીકળે તો એ તમારી. પરંતુ જો બકરી નીકળે તો તમને કશું જ ન મળે. હોસ્ટ ને ખબર છે કે કયા દરવાજા પાછળ કાર છે અને કયા દરવાજા પાછળ બકરી, પરંતુ તમને તેનો કોઈ જ અંદાજ નથી. એટલે સ્વાભાવિક છે કે તમે નસીબ અજમાવી કોઈ એક દરવાજો પસંદ કરશો. ધારો કે તમે પહેલો દરવાજો 'A' પસંદ કર્યો. ત્યાર બાદ હોસ્ટ તમે પસંદ ન કરેલા બે દરવાજા, 'B' અને 'C' માંથી જેની પાછળ બકરી છે તેવો કોઈ એક દરવાજો, ધારો કે C, ખોલીને તમને બતાવે છે. હવે બે દરવાજા બંધ છે. A જે તમે પસંદ કર્યો છે, અને B જે તમે પસંદ નહોતો કર્યો. કોઈ એક પાછળ કાર છે જયારે બીજા પાછળ બકરી. હોસ્ટ તમને ચોઈસ આપે છે કે તમે પસંદ કરેલો દરવાજો તમારે બદલવો હોય તો બદલી શકો છો. A ના બદલે તમારે B પસંદ કરવો હોય તો કરી શકો છો. હવે અહીં બે મિનિટ થોભો અને વિચારો. તમે શું કરશો? શું તમે તમારી ચોઈસ બદલશો? બદલવી જોઈએ કે નહિ?

આ દ્રશ્ય કદાચ તમને જાણીતું લાગશે અને સવાલ સાંભળેલો. આ 2008માં આવેલી અમેરિકન ફિલ્મ 21નો એક સીન છે. ફિલ્મ મૂળ MITના એક પ્રોફેસર અને કેટલાક બ્રિલિઅન્ટ વિદ્યાર્થીઓની બનેલી MIT બ્લેકજેક ટિમ વિશે છે જેઓ લાસ વેગાસના કેસીનોઝમાં કાર્ડ કાઉન્ટિંગની ટ્રિકથી લાખો ડોલર્સ જીતે છે. ઉપરનો પ્રશ્ન ફિલ્મમાં પ્રોફેસર મિકી રોઝા નવા વિદ્યાર્થી બેન કેમ્પબેલને ટીમમાં સામેલ કરવાના હેતુથી ટેસ્ટ સ્વરૂપે પૂછે છે. જો કે આ મૂળ પઝલ તો ઘણી જૂની છે. એ પઝલનો ઇતિહાસ અને ઉકેલ જોઈએ એ પહેલા ફરી સવાલ ઉપર નઝર નાખીએ. શું હોસ્ટની દરવાજો બદલવાની ઓફર સ્વીકારવી જોઈએ કે નહિ. મેં જ્યારે મુવીમાં પ્રશ્ન સાંભળ્યો ત્યારે હીરો જવાબ આપે એ પહેલા જ મારા મનમાં જવાબ રેડી હતો. બે દરવાજા છે, એક પાછળ કાર છે, એક પાછળ બકરી છે. એટલે પસંદ કરેલા દરવાજા પાછળ કાર હોવાની સંભાવના પચાસ ટકા (1/2) છે. માટે પસંદ બદલીએ કે ન બદલીએ, કંઈ ફર્ક ન પડે. વળી શક્ય છે કે હોસ્ટ મને ચોઈસ બદલવાની ઓફર આપીને ફસાવતો હોય! એટલે સંભાવના સરખી જ છે તો હું ચોઈસ ન બદલું. પણ આ શું? હીરો કહે છે કે દરવાજો બદલવાની ઓફર સ્વીકારી લેવી જોઈએ. દરવાજો બદલવાથી કાર જીતવાની સંભાવના ઓરીજીનલ દરવાજામાં કાર જીતવાની સંભાવના કરતા ડબલ થઇ જાય. આ જવાબ પહેલા તો મને ખોટો લાગ્યો. પણ ફિલ્મમાં હીરો અને એ પણ ગણિતના જીનિયસ તરીકે એસ્ટાબ્લીશ કરેલા પાત્ર પાસે આવી ભૂલ તો ન કરાવે એમ વિચારી પઝલ વિશે વધુ વાંચવાનું શરુ કર્યું. અને એ સાથે ગણિતના એક ખુબ ચર્ચાસ્પદ, પ્રખ્યાત અને કાઉન્ટર-ઇન્ટયુઈટીવ કોયડાના આવરણો એક પછી એક ખુલતા ગયા. 

મોન્ટી હોલ પ્રોબ્લેમ તરીકે ઓળખાતો આ કોયડો મુવી કરતા ઘણો જૂનો છે અને નેવુંના દશકમાં અમેરિકામાં ખુબ ચર્ચાયેલો. વળી ચર્ચાયેલો એટલે માત્ર એકેડેમિક સર્કલમાં જ નહિ, સામાન્ય જનતામાં પણ એ એક કુતૂહલનો વિષય બનેલો. થયું એવું કે મેરીલીન વોસ સવાન્ટ નામની એક કોલમિસ્ટ પરેડ નામના રવિવારે છપાતા મેગેઝીનમાં 'આસ્ક મેરીલીન' નામે એક લોકપ્રિય કોલમ લખતી, જેમાં તે વાંચકો દ્વારા પુછાતા પ્રશ્નોના જવાબ આપતી. વળી  દુનિયાની સૌથી વધુ આઈ.ક્યુ. ધરાવતી વ્યક્તિ તરીકેનો રેકોર્ડ ગિનિસ બુકમાં મેરીલીનના નામે જ હતો. 1990માં ક્રેગ વહીટેકર નામના વાંચકે ઉપર મુજબ ત્રણ દરવાજા વાળો પ્રશ્ન મેરીલીનને લખી મોકલ્યો. મેરીલીને તેની કોલમમાં સ્પષ્ટ જવાબ લખ્યો કે દરવાજો બદલવો જ જોઈએ. એનાથી તમારી કાર જીતવાની સંભાવના ડબલ થઇ જાય. જો કે આ જવાબ એટલો અનપેક્ષિત અને અગ્રાહ્ય હતો કે વાંચકો દ્વારા અને ખાસ તો ત્યાંના ગણિતજ્ઞો દ્વારા મેરીલીનની ટીકા કરતા પત્રોનો રીતસર મારો ચલાવવામાં આવ્યો. ઘણાએ મેરીલીનને સલાહ આપી કે તેણે સંભાવના અને ગણિતની બેઝિક ટેક્સટ-બુક ખરીદીને વાંચવી જોઈએ. કોઈએ કહ્યું કે ગણિત ન આવડતું હોય તો હાઈએસ્ટ આઈક્યૂ શું કામનો? મોટા ભાગના ગણિતજ્ઞોનો મત એવો હતો કે સંભાવના સરખી રહે એટલે કે 1/2 રહે, માટે સ્વિચ કરે કે ન કરે, ફર્ક ન પડે. જયારે સામાન્ય લોકો એવો મત રજુ કરતા હતા કે દરવાજો સ્વિચ ન કરવો જોઈએ. વધતી ટીકાને કારણે મેરીલીને ફરી વિગતે લેખ લખ્યો અને તેમાં તર્કો સાથે સાબિતી આપી કે કેવી રીતે દરવાજો સ્વિચ કરવાથી કાર જીતવાની સંભાવના બેવડાઈ જાય. પરંતુ આ જવાબ જ એટલો કાઉન્ટર-ઇન્ટયુઈટીવ હતો કે લોકો માનવા જ તૈયાર ન હતા. બીજા લેખ પછી તો તેની ટીકા અને ટ્રોલિંગ વધ્યા. એક આડવાત કે એ સમયે સોશ્યિલ મીડિયા ન હતું તો ય ટ્રોલિંગ તો હતું જ. મેરીલીન લખે છે કે બીજા લેખ પછી તેને લગભગ દસ હજાર પત્રો મળ્યા અને મોટા ભાગે સુર એક જ હતો કે તેણે સ્કૂલ લેવલનું ગણિત શીખવાની જરૂર છે. વળી, તેમાંના હજારેક પત્રો તો પીએચડી કરેલા વિદ્વાનોના હતા. 

હિંમત હાર્યા વગર મેરીલીને ફરી ત્રીજો લેખ લખ્યો અને ફરી વધુ વિગતે, વધુ તર્કો સાથે તેણે સમજાવ્યું કે કેવી રીતે દરવાજો સ્વિચ કરવો ફાયદાકારક છે. વળી આ વખતે તેણે એક નવી યુક્તિ અજમાવી. લેખમાં તેણે સ્કૂલના ગણિતના વિદ્યાર્થીઓ અને શિક્ષકોને એક પ્રયોગ કરવા હાકલ કરી. તેણે સૂચન આપ્યું કે શિક્ષક ત્રણ કપ લઇ એક પેનીને (સિક્કાને) કોઈ એક કપ નીચે છુપાવીને પછી એક પછી એક વિદ્યાર્થીઓ પાસે આ પ્રયોગ કરાવે. દેશની અસંખ્ય સ્કૂલ્સમાં હજારો વિદ્યાર્થીઓએ આ પ્રયોગ કર્યો અને ખરેખર ચોઈસ સ્વિચ કરવાથી જીતવાની સંભાવના ડબલ થઇ જાય એ નિષ્કર્ષ ધીરે ધીરે મજબૂત થવા લાગ્યો. હવે મેરીલીનને મળતા પત્રોનો સુર બદલવા લાગ્યો. વધુ ને વધુ પત્રો તેની ફેવરમાં આવતા થયા. વળી, ન્યુયોર્ક ટાઇમ્સે હવે તેની ફેવરમાં ફ્રન્ટ પેજ આર્ટિકલ લખ્યો. હવે પ્રાયોગિક સાબિતી અને ડેટા મળતા પ્રવાહ બદલાયો અને ગણિતજ્ઞો સ્વીકારતા તો થયા કે મેરીલીન સાચી છે પણ હજુ ય તેઓને દરવાજો બદલવાથી સંભાવના કેવી રીતે બદલાય તે તર્ક નહોતો સમજાતો. ધીરે ધીરે અનેક વૈજ્ઞાનિકોએ અલગ અલગ રીતે એ માટેના તર્ક રજુ કર્યા અને પછી તો કમ્પ્યુટર સીમ્યુલેશનથી પણ સાબિત કર્યું. આ પ્રોબ્લેમ ઉપર અનેક સંશોધન પત્રો પણ લખાયા અને હવે એ સ્થાપિત તથ્ય છે કે દરવાજો ચેન્જ કરવાથી જીતવાની સંભાવના વધી જાય.

આવો સમજીએ કેવી રીતે. આમ તો એ માટે મેરીલીને રજુ કરેલું કોષ્ટક સૌથી સરળ રસ્તો છે. મેરીલીને ત્રણ દરવાજા પાછળ એક કાર અને બે બકરીને ત્રણ અલગ અલગ રીતે ગોઠવી શકાય તે શક્યતાઓ કોષ્ટકની ત્રણ અલગ અલગ પંક્તિમાં દર્શાવી. જુઓ કોષ્ટક. હવે ધારો કે તમે દરવાજો A પસંદ કર્યો અને હોસ્ટે બાકીના બેમાંથી એક બકરી ધરાવતો દરવાજો ખોલીને તમને દરવાજો બદલવાની ચૉઇસ આપી. જો તમે ચોઈસ ન બદલો તો શું થાય તે કોલમ 5માં દર્શાવ્યું છે. જો દરવાજો ચેન્જ કરો તો શું થાય એ કોલમ 6માં નોંધ્યું છે. અહીં સ્પષ્ટ છે કે કોલમ 5માં ત્રણમાંથી એક જ કેસમાં તમે કાર જીતી શકો, એટલે કે કાર જીતવાની સંભાવના 33.3% (1/3)  રહે. જ્યારે કોલમ 6માં સ્પષ્ટ છે કે ત્રણમાંથી બે કેસમાં તમે કાર જીતો, અર્થાત જીતવાની સંભાવના 66.6% (2/3) રહે. બીજા શબ્દોમાં કહું તો જો તમે ઓરિજિનલી કાર વાળો દરવાજો પસંદ કર્યો હોય તો જ તમે ચોઈસ ચેન્જ કરીને હારો. પરંતુ ઓરિજિનલી કાર વાળો દરવાજો પસંદ કરવાની સંભાવના માત્ર 1/3 જ હોય. જો તમે ઓરિજિનલી બકરી વાળો દરવાજો પસંદ કર્યો હોય તો તમે દરવાજો ચેન્જ કરીને ચોક્કસ જીતો કારણકે બકરી વાળો એક દરવાજો તમે પસંદ કરેલો છે અને બીજો તમને હોસ્ટ ખોલી આપે છે. એટલે જે બાકી રહે તે દરવાજા પાછળ કાર જ હોય. અને ત્રણ માંથી બે દરવાજા પાછળ બકરી હોવાને કારણે ઓરિજિનલી તમે બકરી વાળો દરવાજો પસંદ કરો તેની સંભાવના 2/3 છે. માટે દરવાજો ચેન્જ કરીને જીતવાની સંભાવના પણ 2/3 થઇ જાય. આ સિવાય પણ અનેક તર્કો અને ઉદાહરણો દ્વારા અલગ અલગ રીતે આ પ્રોબ્લેમની સમજૂતી ઉપલબ્ધ છે. મેરેલીને જ આપેલી એક અન્ય સમજૂતી પ્રમાણે પ્રોબ્લેમને અતિશ્યોક્તિથી વિચારો તો વધુ સારી રીતે સમજાય. ધારો કે ત્રણને બદલે દસ લાખ દરવાજા છે. કોઈ એક પાછળ કાર અને બાકીના બધા પાછળ બકરી છે. તમે એક દરવાજો પસંદ કરો પછી હોસ્ટ બાકી રહેલા નવ લાખ નવ્વાણું હજાર નવસો નવ્વાણુંમાંથી નવ લાખ નવ્વાણું હજાર નવસો અઠ્ઠાણું દરવાજા ખોલે ત્યારે સ્વાભાવિક છે કે તમે ઓરિજિનલી પસંદ કરેલા દરવાજા કરતા જે આટલા બધા દરવાજા ખોલ્યા બાદ પણ હોસ્ટે નથી ખોલ્યો તે દરવાજા પાછળ કાર હોવાની સંભાવના અનેક ગણી વધુ રહે એટલે સ્વિચ કરવું જ જોઈએ. 

ખેર, અહીં એ નોંધવું જોઈએ કે આ કોયડો અને તેનો ઉકેલ મૂળભૂત રીતે વહીટેકર અને મેરીલીન નહિ પણ તેના ઘણા વર્ષો પહેલા 1975માં સ્ટીવ સેલ્વીને અમેરિકન સ્ટેટિસ્ટિશિયન નામની જર્નલમાં પ્રકાશિત કરેલો અને તે સમયે લેટ્સ મેક અ ડીલ નામના ખુબ લોકપ્રિય ગેમ શો અને તે શોના હોસ્ટ મોન્ટી હોલ પરથી આ કોયડાને મોન્ટી હોલ પ્રોબ્લેમ એવું નામ પણ સેલ્વીને જ આપ્યું હતું. વળી, એ પહેલા ગણિતીય રીતે સરખા એવા થ્રી પ્રિઝનર્સ પ્રોબ્લેમ અને બર્ટ્રાન્ડ બોક્સ પેરેડૉક્સ પણ એકેડેમિક વર્તુળોમાં ચર્ચામાં હતા પરંતુ મેરીલીને આ કોયડાને લોકજીભે ચઢાવ્યો. બીજી એક અગત્યની વાત એ કે આજે આ કોયડો ગણિતના પરિપ્રેક્ષ્યમાં ઉકેલાઈ ગયો હોવા છતાં સામાજિક મનોવિજ્ઞાન માટે આ એક અગત્યનો કોયડો છે. કેવી રીતે સમાજનો એક મોટો વર્ગ દેખીતા તર્ક ન સમજી શક્યો અને કેવી રીતે લાખોની સંખ્યામાં લોકો તર્કબદ્ધ દલીલોને પણ આટલા આત્મવિશ્વાસ સાથે નકારી દે એ આજે પણ સોશ્યિલ સાયકોલોજીનો એક સળગતો પ્રશ્ન છે. એ સાથે વ્યક્તિગત રીતે પણ કેમ આપણું મગજ આ મોન્ટી હોલ કોયડાને એક પેરેડૉક્સ કે વિરોધાભાસ તરીકે જુએ છે અને આપણી સામાન્ય સમજથી વિપરીત માને છે એ પણ હાલ મનોવિજ્ઞાન માટે એક કલાસિક કેસ છે અને ઘણા રિસર્ચ પેપર એ વિષય ઉપર લખાઈ રહ્યા છે. અત્યારે આ કોયડાને એક કોગ્નિટિવ ઈલ્યુઝન એટલે કે જ્ઞાનાત્મક ભ્રમણા તરીકે વધુ જોવામાં આવે છે. શા માટે સંભાવનાની દ્રષ્ટિએ સહજ હોવા છતાં વ્યક્તિગત રીતે લોકો દરવાજો સ્વિચ કરવાનો ફાયદો સહજ રીતે ન સમજી શક્યા તેના કારણો પણ સમજવા પ્રયત્નો થઇ રહયા છે. મનોવૈજ્ઞાનિકોના મતે લોકો આ પ્રશ્નને સંભાવના અને ગણિતના પ્રશ્ન કરતા મનોવૈજ્ઞાનિક નિર્ણય-પ્રક્રિયા તરીકે જોઈ રહ્યા છે. લોકો સ્વિચ કરતા અચકાય છે તે માટે એક કારણ એવું આપવામાં આવે છે કે તેઓ નિર્ણય લેતી વખતે 'તો શું થશે?' તેવા ભયમાં હોય છે. પહેલી ચોઈસ કર્યા પછી લોકોને લાગે છે કે ચોઈસ બદલીને જો કાર હાથમાંથી જતી રહેશે તો એ વધુ આઘાતજનક લાગશે. એના કરતા ચોઈસ ઉપર ટકી રહીને જાય તો ભલે જાય. અમુક સંશોધનો પ્રમાણે ઈલ્યુઝન ઓફ કન્ટ્રોલ પણ તેમાં ભાગ ભજવે છે. આ બધા મનોવૈજ્ઞાનિક સંશોધનો ભવિષ્યમાં ખુબ સુસંગત સાબિત થઇ શકે છે. 

- વિપુલ ખેરાજ